В начале девятнадцатого века молодой профессор математики Казанского университета произвел в геометрии переворот, не уступающий по своему значению ни одному из переворотов в естествознании.
Геометрическая теория, основанная на системе аксиом, была создана великим древнегреческим математиком Евклидом и впервые изложена примерно в 300 году до нашей эры в фундаментальном труде «Начала».
В первой книге «Начал» Евклид сформулировал 5 постулатов:
Через две точки можно провести одну и только одну прямую.
Прямая продолжается бесконечно.
Из любого центра можно провести окружность любым радиусом.
Все прямые углы равны между собой.
Пятый постулат формулировался гораздо сложнее: «Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».
В современных источниках часто приводится другая формулировка аксиомы о параллельных, эквивалентная V постулату Евклида: «Через одну точку, лежащую вне прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельную данной».
Пятый постулат стал своеобразным философским камнем геометрии Евклида. Две тысячи лет математики всего мира, не допуская и мысли о существовании какой-то другой геометрической системы, пытались «поправить» этот постулат, заменить, вывести из аксиом и доказать как теорему – все тщетно.
Молодой математик Лобачевский, конечно же, не смог пройти мимо этой математической загадки. Но очень скоро понял бесцельность и бесперспективность своих попыток. И тогда в 1822 году тридцатилетний экстраординарный профессор Казанского университета приступил к разработке новой геометрической системы.
Эта новая система была основана на тех же посылках, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных. В геометрии Лобачевского V постулат выглядел так: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её».
На написание первого труда «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» у Лобачевского ушло 4 года.
Геометрия Лобачевского выполняется не на плоскости, как у Евклида, а на псевдосфере – поверхности с постоянной отрицательной кривизной — поэтому её называют гиперболической. (Представьте себе внутреннюю поверхность воздушного шара – вот это оно и есть).
11 февраля 1826 года Лобачевский, тогда уже декан физико-математического факультета, представил свое сочинение коллегам. Работу было поручено рассмотреть профессорам Симонову и Купферу, а также адъюнкту Брашману. Брашман отозвался о сочинении очень пренебрежительно, Симонов и Купфер просто промолчали.
Вскоре после этого Лобачевского избрали ректором Казанского университета, и он с головой погрузился в хозяйственные дела. Обустройство мастерских, лабораторий и обсерватории. Пополнение библиотеки, обновление минералогической коллекции. Стараниями нового ректора при университете были построены клиника, анатомический театр, физический и химический кабинеты…
К работе над своей новой геометрией Лобачевский смог вернуться только в 1829 году.
Сначала он опубликовал мемуар «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник» — печатном органе университета. Затем, через три года, отправил свой труд в Академию наук.
Ответом ему была тишина.
Впрочем, один отзыв все-таки появился. Рецензию на работу Лобачевского написал знаменитый математик Михаил Васильевич Остроградский: «Все, что я понял в геометрии господина Лобаческого, ниже посредственного. Книга опорочена ошибками…»
После такой рецензии на Лобачевского тут же посыпались невежественные насмешки. Свое недоумение высказали коллеги-математики. Вышестоящие лица из попечительского совета задумались о должностном соответствии ректора, проповедующего бредовые идеи.
На самом деле открытие Лобачевского было настолько преждевременным, что понять и оценить его в то время смогли бы только два человека в мире: Карл Фридрих Гаусс и Янош Бойяи.
Гениальный немецкий ученый – астроном, математик, механик, физик, астроном и геодезист – Иоганн Карл Фридрих Гаусс открыл существование иной геометрической системы на восемь лет раньше Лобачевского в 1818 году. Однако не опубликовал на эту тему ни слова. Только в письмах к своим друзьям он обмолвился, что преодолел традиционный предрассудок относительно неизбежности противоречия пятого постулата. А также намекнул, что мог бы развить «антиевклидову» геометрию, но не станет этого делать.
Выпускник Венского военно-инженерного колледжа Янош Бойяи начал создавать свою геометрическую систему одновременно с Лобачевским — в 1822 году. Узнав об этом, отец Яноша известный венгерский математик Фаркаш Бойяи попытался предостеречь сына: «Ты должен бросить это как самое гнусное извращение. Оно может отнять у тебя всё время, здоровье, разум, все радости жизни…» Но Янош не послушался отца. И вскоре пришел к тому же выводу, к которому пришли Гаусс и Лобачевский: пятый постулат недоказуем и независим от остальных, следовательно, заменив его на альтернативный, можно построить новую геометрию, отличную от евклидовой.
В 1823 году, закончив трактат с описанием новой геометрии, Янош сообщил отцу:«Я создал странный новый мир из ничего!»
Однако Фаркаш Бойяи не торопился разделить восторг сына. Он опубликовал работу Яноша только спустя девять лет приложением к собственному большому труду «Tentamen» — опыт. В историю математики эта работа вошла под именем «Appendix» — приложение.
По странному стечению обстоятельств работа Яноша Бойяи увидела свет в том же самом году, когда Лобачевский отправил свой мемуар в Академию наук. Реакция на обе работы была одинаковой. Российские математики не оценили открытие Лобачевского, европейские – не поняли труд Бойяи.
В 1840 году работа Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллельных линий» была переведена на немецкий язык и опубликована за границей. Гаусс был в восторге от этой работы и добился того, чтобы Лобачевский был избран членом-корреспондентом Гёттингенского ученого общества.
В 1854 году ученик Гаусса и профессор Берлинского университета Бернард Риман открыл ещё одну новую геометрическую систему. Риман создал геометрию, где прямые замкнуты, где нет параллельных линий, а сумма углов треугольника больше ста восьмидесяти градусов. Она была похожа на сферическую геометрию Гаусса и работала на поверхностях с постоянной положительной кривизной. Геометрию Римана тоже не сразу поняли и приняли.
Признание неевклидовых геометрий Лобачевского и Римана пришло со временем во многом благодаря появлению математических моделей Клейна-Пуанкаре и работе итальянского математика Эудженио Бельтрами.
Бельтрами доказал, что на псевдосферических поверхностях евклидова пространства имеет место неевклидова геометрия. А немецкий математик Феликс Клейн и французский математик, физик и философ Жюль Анри Пуанкаре, независимо друг от друга, предложили очень простую, но вместе с тем наглядную и убедительную модель, показывающую, что геометрия Лобачевского также непротиворечива, как и геометрия Евклида.
Сам Николай Иванович Лобачевский до этого признания не дожил…
Николая Ивановича Лобачевского называли «Коперником геометрии». И не случайно. Николай Коперник в свое время разрушил казавшуюся незыблемой догму о неподвижной Земле. А Николай Лобачевский первым подверг сомнению наши обыденные представления о свойствах окружающего нас пространства.
Кстати, вопреки распространенному заблуждению, параллельные линии в геометрии Лобачевского не пересекаются. И ни в какой другой геометрии тоже.